MATEMATIKA

Matematikadan ba’zan qaysidir mavzularni o‘zlashtirolmaslik holatlari kuzatiladi. Bu esa o’quvchida dars qilish ishtiyoqini yo‘qotadi. Shubhasiz,   ayrim mavzuni o‘zlashtira olmaslik boshqa mavzularga ham o‘z ta’sirini o‘tkazmay qo‘ymaydi. Demak, bu kamchilikni tez bartaraf etish lozim. Buning uchun esa ushbu mavzuga oid osonroq savollardan misollar yechishni boshlash va asta-sekinlik bilan ularning soni va murakkablik darajasini  oshirib  borish lozim.

 Quyida  ko’paytirishning ba’zi bir noan’aviy usullarini keltirib o’tamiz.

Berilgan birorta son ustida ko’paytirish amalini bajarish uchun bu sonning har bir raqamini (birlik xonasidagi raqamdan boshlab) ishlab chiqiladi. Bunda qo’shni raqamlardan turlicha foydalaniladi. Sondagi “qo’shni” raqam deb ishlatilayotgan raqamdan o’ng tomonda turgan raqam nazarda tutiladi. Birlik xonasidagi raqam uchun qo’shni raqam sifatida nolni olamiz. Berilgan sonning oldida ham nol bor deb faraz qilamiz.

Ko’paytirish qoidalari:

11 ga ko’paytirish. Har bir raqamga uning qo’shnisini qo’shamaz.

Misol. 1234 • 11

4 ga uning qo’shnisi nolni qo’shamiz: 4 hosil bo’ladi. Navbatdagisi 3 ga uning qo’shnisi 4 ni qo’shamiz: 7 hosil bo’ladi. 2 ga uning qo’shnisi 3 ni qo’shamiz: 5 hosil bo’ladi. 1 ga uning qo’shnisi 2 ni qo’shamiz: 3 hosil bo’ladi. Oxirida faraz qilgan nolimizga uning qo’shnisi bo’lgan 1 ni qo’shamiz: 1 hosil bo’ladi. Demak, javob:

Agar ikkita raqamni qo’shganda o’ndan katta son, masalan 13 hosil bo’lsa, u holda odatdagidek 3 ni yozib, 1 ni esa yodda saqlab keyingisiga qo’shamiz.

12 ga ko’paytirish. Raqamni ikkilantirib, unga qo’shnisini qo’shamiz.

Misol. 213 • 12

3 ni ikkilantirib, unga nolni qo’shamiz: 6 hosil bo’ladi. 1 ni ikkilantirib, unga 3 ni qo’shamiz: 5 hosil bo’ladi. 2 ni ikkilantirib, unga 1 ni qo’shamiz: 5 hosil bo’ladi. Ko’paytuvchi oldidaga faraz qilgan nolni ikkilantirib, unga 2 ni qo’shamiz: 2 hosil bo’ladi.  Demak, javob: 2556

Eslatma. Berilgan sonni 5,6 va 7 ga ko’paytirish qoidalarida bir xonali sonning yarmini topishga to’g’ri keladi. Juft sonning yarmini ikkiga bo’lib topamiz, son toq bo’lsa, uning yarmi deb, uni ikkiga bo’lib butun qismini olamiz. Masalan 5 ni yarimi 2, 7 ni yarmi deb 3 ni olamiz va hokazo.

6 ga ko’paytirish. Qo’shni raqamning yarmini va agar ishlatilayotgan raqam toq bo’lsa, 5 ni qo’shamiz.

Misol. 232 • 6

2 ga uning qo’shnisi bo’lgan nolning yarmi, ya’ni nolni qo’shamiz: 2 hosil bo’ladi. 3 ga 2 ning yarmi va 5 ni qo’shamiz: 9 hosil bo’ladi. 2 ga 3 ning yarmi 1 ni qo’shamiz: 3 hosil bo’ladi. Nolga 2 ning yarmini qo’shsak 1 hosil bo’ladi. Demak, javob. 1392

7 ga ko’paytirish. Raqamni ikkilantiramiz va qo’shnisining yarmini qo’shamiz. Agar ishlanayotgan raqam toq bo’lsa, yana 5 ni qo’shamiz.

Misol. 324 • 7

4 ni ikkilantirib, uning qo’shnisi nolni yarmini qo’shamiz: 8 hosil bo’ladi. 2 ni ikkilantirib, uning qo’shnisi  4 ni yarmini qo’shamiz: 6 hosil bo’ladi. 3 ni ikkilantirib, uning qo’shnisi  2 ni yarmini va 5 ni qo’shamiz: 12 hosil bo’ladi bunda 2 ni yozamiz va 1 ni yodda saqlaymiz. Nolni ikkilantirib, 3 ning yarimi 1 ni va yoddagi 1 ni ham qo’shamiz: 2 hosil bo’ladi.

Demak, javob. 2268

5 ga ko’paytirish. Qo’shni raqamning yarmini olamiz, agar ishlanayotgan raqam toq bo’lsa, yana 5 ni qo’shamiz.

Misol. 214 • 5

4 ni qo’shnisi nolni yarmini olamiz: nol hosil bo’ladi. 1 ni qo’shnisi 4 ni yarmiga bir toq bo’lgani uchun 5 ni qo’shamiz: 7 hosil bo’ladi. 2 ni qo’shnisi birni yarmini olamiz: nol hosil bo’ladi. Nolni qo’shnisi 2 ni yarmini olamiz: 1 hosil bo’ladi.

Demak, javob. 1070

Har qanday aylananing uzunligi va diametrining o‘zaro nisbati – doimiy o‘zgarmas son bo‘ladi. Bu oddiy haqiqatni unchalik qiyin bo‘lmagan o‘lchashlar va kuzatuvlar orqali tez ilg‘ash mumkin. Haqiqatan ham, aylana uzunligi va diametrining nisbati – hoh u koinot miqyosidagi ulkan aylana, masalan, biror osmon jismi orbitasi bo‘lsin, yoki, aksincha, ko‘zimiz o‘rganib qolgan odatiy narsalar, masalan – avtomobil g‘ildiragi, yoki kompyuter disklari bo‘lsin, doimo bir xil son (constanta)ni beradi, ya'ni:

π ≈3.141592653589793238462643383279502884197169399377510...

Fanga ma’lum manbalar ichida π haqida qayd etib o‘tilgan eng qadimiysi bu eramizdan avvalgi 1650-yillarga taalluqli deb hisoblanuvchi, qadimgi Misr papirus qog‘ozidir. “Axmes papirusi” deb nomlanuvchi ushbu manbada “pi”ning qiymati 3.16 ga teng deb keltirilgan.
π haqida qayd etilgan “Axmes papirusi”dan keyingi yana bir qadimiy topilma – qadimgi Bobil yodgorliklariga oid sopol bo‘lagi bo‘lib, u taxminan eramizdan avvalgi 200-yillarga tegishli deb qaraladi. Ushbu sopol yodgorlikda “pi”ning qiymati 3.125 ga teng deb keltiriladi.
Arximed aylanaga avvalo biror ko‘pburchakni ichki chizadi, keyin esa, shunday ko‘pburchak mazkur aylanaga tashqi chiziladi. Aylana uzunligi ushbu ikki ko‘pburchaklar diametrlari orasida o‘rtacha qiymatni olishi kerak. Aylana diametri esa birlik sifatida qabul qilinadi. Ko‘pburchaklarning yuzini doimo aniq topishning imkoni bo‘ladi. Aylananing yuzi esa doimo taqribiy qiymat bilan topiladi. Shu tarzda Arximed aylanaga ichki chizilgan ko‘pburchakning burchaklari sonini ketma-ket orttirib borish bilan, ularning ko‘rinishini aylana shakliga maksimal yaqinlashtirib boradi. Demakki, ularning yuzalarining qiymatlari ham, o‘zlariga ichki va tashqi chizilgan aylana yuziga maksimal yaqinlashib boradi. Xullas, shu yo‘sinda Arximed “pi”ning qiymati quyidagi nisbat orasida ekanini topadi:

Ya'ni, Arximedga ko‘ra “pi” taxminan quyidagi oraliqda aniqlanadi:
3.140845...< π <3.142857...
Arximed hisoblashlarni muntazam 96 burchakkacha olib borgan deb taxmin qilinadi.
Qadimgi Misr olimi Klavdiy Ptolomey, hisoblashlarni 120-burchak shakli bilan bajarib, “pi” uchun 3.141666... natijani olgan.
IX asrga kelib esa, Movarounnahr uchun ilmiy yuksalish zamonasi keldi. Buyuk alloma bobokalonimiz Muhammad Muso al-Xorazmiy asarlarida “pi” 3.1416 ko‘rinishida keltirib chiqariladi. “Algebra” va “Algoritm” atamalarining tub ildizi bo‘lmish bu zot, shuningdek, olimlar orasida birinchi bo‘lib, murakkab hisoblashlar uchun (masalan astronomik tadqiqotlar uchun) 3.1416 qiymatni qo‘llash kerakligini; oddiy kundalik hisob ishlari uchun esa, 3.14 qiymat yetarli bo‘lishini ta’kidlaydi.
Al-Xorazmiydan keyin oradan 6 asr o‘tib, Temuriylar davlatida (asosan Samarqandda) yashab ijod qilib o‘tgan boshqa bir mashhur olim G‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy “pi” uchun verguldan keyingi 16 xona sonni aniq hisoblab chiqqan. Asli Eronlik (Koshon shahridan) bo‘lgan bu olim, Arximed usulini qo‘llamaydi, balki o‘ziga xos, boshqacha yo‘l tutadi. Al-Koshiy 60 lik sanoq tizimidan foydalangan.
Buyuk farang matematigi sanaluvchi Fransua Viet ham, “pi”ning verguldan keyingi atiga 9 ta raqamini aniqladi xolos. Ta’kidlash joizki, Viet ham Arximed usulidan foydalanadi, lekin u favqulodda ulkan ko‘pburchak (393216 tomonli! – tasavvur qilishning o‘zi mushkul...) bilan ish ko‘radi. Vietning zamondoshi va ayni vaqtda uning ilmiy raqibi bo‘lgan Van Roomen ismli golland matematigi ham Arximed usuliga murojaat qiladi va endi u al-Koshiydan biroz o‘zib ketadi. 1593 yilda van Roomen “pi”ning verguldan keyingi 16 raqamini aniq topgan.
Van Roomendan keyin “pi”ning aniq topishga uringanlar orasida eng katta muvaffaqiyatga erishgan olim sifatida nemis-golland matematigi Lyudolf van Seylen qayd etiladi. U avvaliga (1596 yilda) “pi”ning verguldan keyingi 20 ta raqamini, yana bir necha yil o‘tib esa, 35 ta raqamini aniq topgan. Lyudolf van Seylenning “pi”ni aniqlash borasidagi muvaffaqiyati o‘sha davr matematikasi uchun ulkan yutuq sanalgan, hamda u o‘z hamkasblari orasida mislsiz mashhurlikka erishgan. Shu sababli, o‘sha zamonlarda hatto “pi” sonini van Seylen sharafiga uning ismi bilan bog‘lab, “lyudolf soni” ham deb nomlay boshlashgan. Van Seylen “pi”ning verguldan keyingi oxirgi sonigacha o‘ta aniqlikda topish uchun deyarli butun ilmiy faoliyatini bag‘ishladi. Ta’bir joiz bo‘lsa, van Seylenni “pi vasvasasi”ga uchragan desak ham o‘rinli bo‘ladi. So‘zimizning isboti sifatida, uning o‘limidan oldingi vasiyati qanday bo‘lganini keltirib o‘tishimiz mumkin. Van Seylen, ushbu sonning o‘zi aniqlagan barcha raqamlarini o‘z qabr toshiga o‘yib yozishlarini vasiyat qilib ketgan. Albatta uning davomchilari tomonidan olimning vasiyati amalda bajarilgan edi. Biroq, van Seylen mangu orom topgan maskan II-jahon urushi yillarida vayron qilingan va olimning yodgorlik lavhi butunlay yo‘q bo‘lib ketgan. Faqatgina 2000-yilga kelib, bir guruh matematika shinavandalari tomonidan uning qabr toshiga “pi”ning u hisoblashga muvaffaq bo‘lgan verguldan keyingi 35-raqami bitilgan yodgorlik qayta tiklandi.
1621 yilda Villebrord Snell ismli matematik, van Seylen natijasini takrorlagan bo‘lsa, 1630-yilga kelib, avstriyalik astronom Kristof Grinberger bu borada yangi rekord o‘rnatdi. U verguldan keyingi 39-ta raqamni aniq hisoblab chiqishga erishdi.

1699 yilda Britaniyalik Abraxam Sharp ismli olim “pi”ning verguldan keyingi naq 71 ta raqamini aniq hisoblashga erishdi. Bir necha yil o‘tgach, aniqrog‘i 1706-yilda uning vatandoshi Jon Mechin o‘z nomi bilan ataluvchi mashhur trigonometrik formulalarni kashf qildi va ushbu formulalar asosida “pi”ning verguldan keyingi dastlabki 100 ta raqamini hisoblab chiqarishga muvaffaq bo‘ldi.
Nemis matematigi Georg Vega 1794 yilda Mechin formulasi orqali 137-chi raqamgacha topgan bo‘lsa, 1841 yilda Uilyam Rezerford 152-ta raqamini topganini ma’lum qilgan.
1853 yilda Rezerford “π masalasi”ga qaytadi va endi u mutlaq rekord o‘rnatadi: 440 ta raqam!
1844 yilda nemis matematigi Zaxarius Daze π ning 200-ta raqamini hisoblab chiqdi.
1847 yilda esa Daniyalik astronom va matematik Tomas Klausen 248-chi xonagacha aniq yetib bordi.
1853 yilda Vilgelm Lemann ismli nemis olimi 261 ta raqam bilan rekordni yangiladi. 1854 yilda esa, uning vatandoshi bo‘lmish, professor Rixter avvaliga 330, keyin, 400 va yakunda 500-ta xonagacha aniq hisoblab berdi.

Avvaliga matematik Daniel Fergyusson mexanik kalkulatordan foydalanib, verguldan keyingi raqamlar miqdorini 808-tagacha yetkazdi.
1949 yilda esa matematik Jon Fon Neyman boshchiligidagi ilmiy guruh, o‘sha zamon uchun eng ilg‘or EHM sanalgan ENIAK kompyuterida π ni imkon qadar aniq hisoblashga mo‘ljallangan maxsus dastur yozib ishga tushirishdi. Kompyuter dasturni 70 soat davomida qayta ishladi va 2037-ta xonadan iborat natija taqdim etdi.
1961 yilda esa, IBM7090 kompyuterining 9 soatlik hisoblashidan keyin, π ning verguldan keyingi dastlabki 100000 (yuz ming) ta raqami aniqlandi.
1982 yilda Tokio universitetining Yasumasa Kanada boshchiligidagi ilmiy guruhi Salamin va Brent algoritmini HITACI-M-280H kompyuterida qo‘llab, 30-soatlik ish faoliyatidan keyin 16777206 ta (16 milliondan ziyod!) ta raqam natija bilan butun dunyo matematiklari lol qoldirishdi. Zero u o‘shandan buyon π ni maksimal aniq hisoblash bo‘yicha o‘z rekordini takror-takror yangilab kelmoqda. Xususan u 1987 yilda o‘z rekordini 134214700 ga yetkazgan edi.
1989 yilda esa, asli Kiyevlik bo‘lgan va hozirda AQSHda yashaydigan aka-uka Chudnovskiylar, π xonalari sonini milliard dovonidan o‘tkazish orqali yaponlarning rekordini yangilab qo‘yishdi. Ular 1011196691 ta xonagacha aniqlashgan. Keyinroq Chudnovskiylar 2-millardlik dovonni (1991 yil) va keyinroq 4-milliardlik marrani ham zabt etishdi (1994-yil).
Biroq Kanada boshchiligidagi ilmiy guruh yana rekordni qaytarib oldi. Avvaliga ular 1996 yilda 8-milliardli, 1997 yilda esa 51-milliardlik xonalarni egallashdi.
Kanada boshchiligidagi yapon π-chilari bu bilan cheklanib qolishmadi. Ular 2002-yilda trillionlik marrani bosib o‘tishdi (1241100000000). Kanadaning trillionlik rekordi 2009-yilgacha amalda bo‘ldi. Aynan o‘sha yili Kanada jamoasini o‘z vatandoshlari va hamkasblari – Tsukuba universiteti olimlari dog‘da qoldirdi. Ular 73 soat 36 daqiqalik ishlashdan so‘ng, π ning verguldan keyingi 2576980377524 ta xonasini aniq chiqarib bergan. Biroq, Tsukubaliklarning rekordi ham uzoqqa bormadi. 2011 yilda Seguro Xonda boshchiligidagi boshqa bir yapon olimlari guruhi 10 trillionlik marrani zabt etdi. 2013 yilda Xondaning o‘zi 12-trillionlik marradan o‘tgan va shu natija hozircha jahon rekordi bo‘lib turibdi. 2014 yilning 7-oktyabr sanasida 13-trillioninchi marradan ham o‘tilgani haqidagi xabarlar OAVda paydo bo‘lgan edi. Biroq hozirgacha bu ma’lumot aniq tasdiqlanganicha yo‘q. Shu sababli, Xondaning oxirgi natijasini hozircha rekord sifatida qabul qilingan.

Zamonamizda shuningdek, π ning verguldan keyingi raqamlarini aniq yoddan aytish bo‘yicha ham rekord o‘rnatishga qaratilgan musobaqalar bormoqda. Bu boradagi dastlabki rekordni 1977 yilda Kanadalik matematik Saymon Playfer 4096 ta raqam bilan o‘rnatgan edi.
Hozirgi amaldagi rekord egasi esa Hindiston fuqarosi Rajvir Mina bo‘lib, 2015 yilning 21-mart sanasida 10 soatga yaqin vaqt mobaynida π ning verguldan keying 70000 ta raqamini yoddan aytib berdi!

• Har yilning 14-mart sanasi xalqaro π-kuni sifatida nishonlanadi. Chunki bu sana yilning 3-oyining 14-sanasi, ya'ni, 3.14 ga to‘g‘ri keladi. 2015 yilning 14-mart sanasi esa bu borada yanada katta muvofiqlikdagi π-kuni sifatida o‘tdi (ya'ni, 3.14.15).
• 1894 yilda asli kasbi vrach bo‘lgan Edvard Gudvin ismli shaxs, AQSH senatiga π soni 3.2 ga teng ekanini qat’iy tasdiqlovchi qonun loyihasini (bill №246) taqdim etgan. Hozirda mazkur hujjat loyihasiga “ko‘rib chiqilishi muddatsiz kechiktirilgan!” tamg‘asi bosilgan holda saqlanmoqda.